Question

（2013•陕西）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．
（Ⅰ） 求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x₁+x₂，x₁x₂，结合2x₁=x₂得到关于k的方程，则直线m的斜率可求．

解答：解：（Ⅰ）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则
|x-4|=2

(x-1)2+y2

，即（x-4）²=4[（x-1）²+y²]，
整理得

x2

4

+

y2

3

=1．
所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）P（0，3），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由A是PB的中点，得2x₁=0+x₂，2y₁=3+y₂．
椭圆的上下顶点坐标分别是(0，

3

)和(0，-

3

)，经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在．
设直线m的方程为：y=kx+3．
联立

y=kx+3 x2 4 + y2 3 =1

，
整理得：（3+4k²）x²+24kx+24=0．
x1+x2=

-24k

3+4k2

，x1x2=

24

3+4k2

．
因为2x₁=x₂．
则

x1

x2

+

x2

x1

=

1

2

+2，得

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

5

2

，
所以

( -24k 3+4k2 )2-2• 24 3+4k2

24 3+4k2

=

5

2

．
即

(-24k)2

(3+4k2)•24

=

9

2

，解得k=±

3

2

．
所以，直线m的斜率k=±

3

2

．

点评：本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．