Question

（2013•陕西）已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ） 证明：曲线y=f（x）与曲线y=

1

2

x2+x+1有唯一公共点．
（Ⅲ） 设a＜b，比较f（

a+b

2

）与

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；
（II）令h（x）=f（x）-(

1

2

x2+x+1)=ex-

1

2

x2-x-1，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；
（III）利用作差法得 

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，构造函数，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．

解答：（I）解：函数f（x）=e^x的反函数为g（x）=lnx，
∵g′(x)=

1

x

，∴g^′（1）=1，
∴f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），即y=x-1；
（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）-(

1

2

x2+x+1)=ex-

1

2

x2-x-1，
则h^′（x）=e^x-x-1，
h^′′（x）=e^x-1，
当x＞0时，h^′′（x）＞0，h^′（x）单调递增；当x＜0时，h^′′（x）＜0，h^′（x）单调递减，
故h^′（x）在x=0取得极小值，即最小值，
∴h^′（x）≥h^′（0）=0，
∴函数y=h（x）在R上单调递增，最多有一个零点，
而x=0时，满足h（0）=0，是h（x）的一个零点．
所以曲线y=f（x） 与曲线y=

1

2

x2+x+1有唯一公共点（0，1）．
（Ⅲ） 

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g^′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g^′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g^′（0）=0，
∴g^′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）g（x）＞0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea＞0，
即当a＜b时，f(

a+b

2

)＞

f(b)-f(a)

b-a

．

点评：本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．