Question

已知（m为常数，m>0且m≠1）．
设（n∈^?）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，且数列的前n项和为S_n，当m＝2时，求S_n；

Answer 1

（1）见解析（2）2^n＋2·n

本题考查数列的定义的应用，错位相减法，数列与函数相结合，恒成立问题的综合应用，考查分析问题解决问题，转化思想的应用，知识面广，运算量大．
（1）利用f （x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．代入a_n，求出a_n的表达式，利用等差数列的定义，证明数列{a_n}是等差数列；
（2）通过b_n=a_n f （a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=2时，求出S_n的表达式，利用错位相减法求出S_n；
解：（1）由题意f（a_n）＝，即．
∴a_n＝n＋1，（2分）      ∴a_n＋1－a_n＝1，
∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由题意＝（n＋1）·mⁿ⁺¹，
当m＝2时，b_n＝（n＋1）·2^n＋1
∴S_n＝2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋（n＋1）·2^n＋1　①
①式两端同乘以2，得
2S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋…＋n·2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2　②
②－①并整理，得
S_n＝－2·2²－2³－2⁴－2⁵－…－2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²－（2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n＋1）＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²－＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²＋2²（1－2ⁿ）＋（n＋1）·2^n＋2＝2^n＋2·n．