Question

8．已知$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，且$α∈（0，\frac{π}{2}）$．
（Ⅰ）求sin2α；
（Ⅱ）求$tan（α+\frac{π}{4}）$．

Answer 1

分析 （I）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解sin2α．
（II）由（I）利用同角三角函数基本关系式可求tanα，进而利用二倍角的正切函数公式即可求得$tan（α+\frac{π}{4}）$．

解答 解：（I）∵$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，且$α∈（0，\frac{π}{2}）$．
∴sin$α=\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$．
（II）∵tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=2，
∴$tan（α+\frac{π}{4}）$=$\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanαtan\frac{π}{4}}$=$\frac{2+1}{1-2×1}$=-3．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．