Question

3．已知函数$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1$，则下列说法正确的是（　　）

• A． $（\frac{7π}{12}，0）$是函数y=f（x）的对称中心
• B． $x=\frac{7π}{12}$是函数y=f（x）的对称轴
• C． $（-\frac{π}{12}，0）$是函数y=f（x）的对称中心
• D． $x=-\frac{π}{12}$是函数y=f（x）的对称轴

Answer 1

分析 化简函数f（x），求出f（x）的对称中心和对称轴，即可判断选项是否正确．

解答 解：函数$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1$
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴点（-$\frac{π}{12}$，0）是f（x）的对称中心，C正确；
点（$\frac{7π}{12}$，0）不是f（x）的对称中心，A错误；
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴x=$\frac{7π}{12}$和x=-$\frac{π}{12}$都不是f（x）的对称轴，B、D错误．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的化简和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．