Question

已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，（x∈N^*），其导函数记为f_n′（x），且满足fn′[ax1+(1-a)x2]  =

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，其中a，x₁，x₂为常数，x₁≠x₂．设函数g（x）=f₁（x）+mf₂（x）-lnf₃（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，求m的值；
（Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f₂（x）=x²f₂'（x）=2x，可得2[ax1+(1-a)x2]  =

x22-x12

x2-x1

，化简可求a=

1

2

；
（Ⅱ）根据f₁（x）=xf₂（x）=x²f₃（x）=x³，可得g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）．利用函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，可得该零点左右g′（x）同号，从而可得二次方程2mx²+x-3=0有相同实根，故可求m的值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=

1

2

，k=g′（x）=2mx-

3

x

+1，k′=2m+

3

x2

，

3

x2

∈[12，+∞)，分类讨论：①当-6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，最大值为m-5；②当m＜-6时，由k′=0，得x=

- 3 2m

，而0＜

- 3 2m

＜

1

2

，可得x=

- 3 2m

时，k取得最大值且最大值为1-2

-6m

．

解答：解：（Ⅰ）∵f₂（x）=x²f₂'（x）=2x
∴2[ax1+(1-a)x2]  =

x22-x12

x2-x1

∴（x₁-x₂）（2a-1）=0
∵x₁≠x₂，∴a=

1

2

；
（Ⅱ）∵f₁（x）=xf₂（x）=x²f₃（x）=x³，∴g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）
∴g′（x）=

2mx2+x-3

x

∵函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，
∴该零点左右g′（x）同号，
∵m≠0，∴二次方程2mx²+x-3=0有相同实根
∴△=1+24m=0
∴m=-

1

24

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=

1

2

，k=g′（x）=2mx-

3

x

+1，k′=2m+

3

x2

∵x∈[0，

1

2

]，∴

3

x2

∈[12，+∞)
∴①当-6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，∴k=g′（x）在（0，

1

2

]上递增
∴当x=

1

2

时，k取得最大值，且最大值为m-5；
②当m＜-6时，由k′=0，得x=

- 3 2m

，而0＜

- 3 2m

＜

1

2

若x∈(0，

- 3 2m

)，则k′＞0，k单调递增；
若x∈(

- 3 2m

，

1

2

)，则k′＜0，k单调递减；
故当x=

- 3 2m

时，k取得最大值且最大值为1-2

-6m

．
综上，k_max=

m-5，(-6≤m＜0或m＞0) 1-2 -6m ，(m＜-6)

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．