Question

18、已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的实数x，y，f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，f（1）=2，
（1）求f（0）；f（2）；
（2）证明：f（x）是奇函数；
（3）证明：f（x）是增函数．

Answer 1

分析：（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，
（2）由奇函数的定义知，需要证明出f（-x）=-f（x），观察恒等式发现若令y=-x，则问题迎刃而解；
（3）由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小即可．

解答：解：（1）由题设，令x=y=0，
恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
又f（1）=2，f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2+2=4，
（2）令y=-x，则 由f（x+y）=f（x）+f（y）得
f（0）=0=f（x）+f（-x），即得f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数
（3）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
由题设x＞0时，f（x）＞0，可得f（x₂-x₁）＞0
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0
故有f（x₂）＞f（x₁）
所以 f（x）是增函数．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．