Question

素材1：椭圆=1(a＞b＞0)的两焦点为F₁、F₂;

素材2：若在椭圆上存在一点P，使·=0.

试根据上面素材构造一个问题，然后再解答.

Answer 1

构造问题：椭圆=1(a＞b＞0)的两焦点为F₁、F₂，P是椭圆上一点且·=0,试求该椭圆的离心率e的取值范围.

解析：如图所示，设F₁(-c,0)、F₂(c,0)、P(x₀,y₀),则|PF₁|=a+ex₀,|PF₂|=a-ex₀,|F₁F₂|=2c.

∵·=0,∴⊥.

∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²,

即（a+ex₀）²+(a-ex₀)²=4c²e²x₀²=2c²-a².

据题意，P点在椭圆上，但不在x轴上,

∴0≤x₀²＜a².

∴0≤e²x₀²＜c².

于是0≤2c²-a²＜c²,即≤c²＜a²≤＜1,

∴e∈［,1.