Question

素材1：如图，已知椭圆 =1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D;

素材2：设f(m)=||AB|-|CD||.

试根据上述素材构建一个问题，然后再解答.

Answer 1

构建问题：如图,已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭

圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D.设f(m)=||AB|-|CD||，试求f(m)的解析式.

解析：(1)设椭圆的长半轴、短半轴及半焦距依次为a、b、c,则a²=m,b²=m-1,c²=a²-b²=1,∴椭圆的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）.故直线的方程为y=x+1.又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m,∴A(-m,-m+1),D(m,m+1).考虑方程组消去y,得(m-1)x²+m(x+1)²=m(m-1).整理得(2m-1)x²+2mx+2m-m²=0,Δ=4m²-4(2m-1)(2m-m²)=8m(m-1)².

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，x_B+x_C=.又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上，

∴|AB|=|x_B-x_A|=(x_B-x_A).同理|CD|=（x_D-x_C）.

∴||AB|-|CD||=|x_B-x_A-x_D+x_C|=|(x_B+x_C)-(x_A+x_D)|.

又∵x_A=-m,x_D=m,

∴x_A+x_D=0.∴||AB|-|CD||=|x_B+x_C|·=||·=(2≤m≤5).

故f(m)= (m∈［2,5］).