Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，其右焦点F是圆（x-1）²+y²=1的圆心．
（1）求椭圆方程；
（2）过所求椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M（0，m），N（0，n）两点，当|m-n|=2

2 -1

时，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先利用圆心坐标求出焦点坐标以及c值，再利用离心率求出a，即可求出椭圆方程．
（2）先利用条件求出直线PM的方程，再利用直线PM与圆相切求出m与点P坐标之间的关系，同样求出n与点P坐标之间的关系，再把所求代入已知并利用点P在椭圆上，可以求出点P的坐标．

解答：解：（1）因为圆（x-1）²+y²=1的圆心是（1，0），
所以椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），
∴椭圆的离心率是

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

∴a²=2，b²=1，所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）设P（x₀，y₀），
由

x2 2 +y2=1 (x-1)2+y2=1

，
得x=2-

2

或x=2+

2

（舍），
∴x0∈[-

2

，0)∪(0，2-

2

)．（5分）
直线PM的方程：y-m=

y0-m

x0

x，
化简得（y₀-m）x-x₀y+x₀m=0．
又圆心F（1，0）到直线PM的距离为1，
∴

|y0-m+x0m|

(y0-m)2+x02

=1
∴（y₀-m）²+x₀²=（y₀-m）²+2x₀m（y₀-m）+x₀²m²
化简得：（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，（7分）
同理：（x₀-2）n²+2y₀n-x₀=0m+n=-

2y0

x0-2

，m•n=

-x0

x0-2

（9分）
∴|m-n|=

(m-n)2

=

(m+n)2-4mn

=

4x02+4y02-8x0 (x0-2)2

∵P（x₀，y₀）在椭圆上∴

x02

2

+y02=1
∴|m-n|=

2- 4 (x0-2)2

=2

2 -1

，（11分）
∴2-

4

(x0-2)2

=4(

2

-1)，∴x0=4+

2

（舍）或x0=-

2

∴P(-

2

，0)
所以，此时点P的坐标是(-

2

，0)．（12分）．

点评：本题的易错点在与忘记看点P所在位置，而把两个结果都要．