Question

（2012•安徽模拟）如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆的上顶点且△BF₁F₂的周长为4+2

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在这样的直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F₂恰为△BMN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明由..

Answer 1

分析：（1）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，利用△BF₁F₂的周长为4+2

3

，可得a+c=2+

3

，由此可求椭圆的方程；
（2）假设存在直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F₂恰为△BMN的垂心，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），确定k_MN=

3

设l的方程为y=

3

x+m，代入

x2

4

+y2=1，利用

F2M

=(x1-

3

，y1)，

BN

=(x2，y2-1)，

F2M

⊥ 

BN

，即可求得满足条件的直线l的方程．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，∴

c

a

=

3

2

①
∵△BF₁F₂的周长为4+2

3

，∴a+c=2+

3

②
由①②可得c=

3

，a=2，∴b=

a2-c2

=1
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）假设存在直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F₂恰为△BMN的垂心
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∵B（0，1），F₂（

3

，0），∴k_MF2=-

3

3

，∴k_MN=

3

设l的方程为y=

3

x+m，代入

x2

4

+y2=1消元可得13x²+8

3

mx+4（m²-1）=0
∴x₁+x₂=-

8 3 m

13

，x1x2=

4(m2-1)

13

③
∵

F2M

=(x1-

3

，y1)，

BN

=(x2，y2-1)，

F2M

⊥ 

BN

∴

F2M

•

BN

=x2(x1-

3

)+y1(y2-1)=4x₁x₂+

3

(m-1)(x1+x2) +m(m-1)=0④
③代入④，可得4×

4(m2-1)

13

-

3

(m-1)×

8 3 m

13

+m(m-1)=0
∴（m-1）（5m+16）=0
∴m=1，或m=-

16

5

经检验，当m=1时直线l经过点B，不能构成三角形，故舍去
∴存在直线l：y=

3

x-

16

3

满足条件．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程，利用数量积为0是解题的关键．