Question

（2013•汕头一模）如图．已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=

3

2

，F₁为椭圆的左焦点且

AF1

•

F1B

=1．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

Answer 1

分析：（I）写出A，B，F₁的坐标，进而得到

AF1

，

F1B

的坐标，代入

AF1

•

F1B

=1并化简得b²=1，由e=

3

2

，得e2=

c2

a2

=

a2-1

a2

=

3

4

，解出得a²，从而得椭圆方程；
（II）可根据圆心O到直线QN的距离d与圆的半径的大小关系判断：设P（x₀，y₀），则Q（x₀，2y₀）（x₀≠±2），由点斜式写出直线AQ方程，与直线BM方程联立可得M坐标，进而得N点坐标，由点斜式可得直线QN方程，根据点到直线距离公式可得圆心O到直线QN的距离，与半径a比较即可，注意点P坐标满足椭圆方程；

解答：解：（Ⅰ）易知A（-a，0），B（a，0），F₁（-c，0），
∴

AF1

•

F1B

=(a-c，0)•(a+c)=1，∴a²-c²=b²=1，
又e=

3

2

，∴e2=

c2

a2

=

a2-1

a2

=

3

4

，解得a²=4，
∴所求椭圆方程为：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），则Q（x₀，2y₀）（x₀≠±2），
∴kAQ=

2y0

x0+2

，所以直线AQ方程：y=

2y0

x0+2

(x+2)，
∴M(2，

8y0

x0+2

)，则N(2，

4y0

x0+2

)，
∴kQN=

4y0 x0+2 -2y0

2-x0

=

2x0y0

x02-4

，
又点P的坐标满足椭圆方程，则x02+4y02=4，
所以 x02-4=-4y02，∴kQN=

2x0y0

x02-4

=

2x0y0

-4y02

=-

x0

2y0

，
∴直线QN的方程：y-2y0=-

x0

2y0

(x-x0)，
化简整理得到：x0x+2y0y=x02+4y02=4，即x₀x+2y₀y=4，
所以点O到直线QN的距离d=

4

x02+4y02

=2，
故直线QN与AB为直径的圆O相切．

点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查学生的运算能力，本题中动点较多，设点坐标时应尽量减少未知量的个数．