Question

（2013•汕头一模）广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：

幸福级别	非常幸福	幸福	不知道	不幸福
幸福指数（分）	90	60	30	0
人数（个）	19	21	7	3

（I）求这50位市民幸福指数的数学期望（即平均值）；
（11）以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列；
（III）从这50位市民中，先随机选一个人．记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n，求n＜m+60的概率P．

Answer 1

分析：（I）由数学期望（即平均值）的定义，结合图表可得答案；
（II）可得ξ的可能取值为0、1、2、3，分别求其概率，即可得其分布列；
（III）方法一，求对立事件n≥m+60的概率，进而由P=1-P₁可得答案，方法二，直接列举出符合n＜m+60的情况，由古典概型的公式可得答案．

解答：解：（Ⅰ）记Ex表示这50位市民幸福指数的数学期望，
∴Ex=

1

50

(90×19+60×21+30×7+0×3)=63．…（1分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3    …（2分）
P(ξ=0)=

C

0 3

(

4

5

)0(

1

5

)3=

1

125

…（3分）
P(ξ=1)=

C

1 3

(

4

5

)1(

1

5

)2=

12

125

…（4分）
P(ξ=2)=

C

2 3

(

4

5

)2(

1

5

)1=

48

125

…（5分）
P(ξ=3)=

C

3 3

(

4

5

)3(

1

5

)0=

64

125

…（6分）
∴ξ分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 125	12 125	48 125	64 125

…（7分）
（Ⅲ）方法一：设所有满足条件的对立事件n≥m+60的概率为P₁
①满足m=0且n=60的事件数为：

A

1 3

A

1 21

=63…（8分）
②满足m=0且n=90的事件数为：

A

1 3

A

1 19

=57…（9分）
③满足m=30且n=90的事件数为：

A

1 7

A

1 19

=133…（10分）
∴P1=

63+57+133

A 2 50

=

253

2450

…（11分）
所以满足条件n＜m+60的事件的概率为P=1-P1=1-

253

2450

=

2197

2450

．…（12分）
方法二：基本事件的总数为

A

2 50

=2450
满足条件n＜m+60的有如下各种情况：
①满足m=0时，n=0，30的事件数为：

A

1 3

A

1 9

…（8分）
②满足m=30时，n=0，30，60的事件数为：

A

1 7

A

1 30

…（9分）
③满足m=60时，n=0，30，60，90的事件数为：

A

1 21

A

1 49

…（10分）
④满足m=90时，n=0，30，60，90的事件数为：

A

1 19

A

1 49

…（11分）
所以P=

A 1 3 A 1 9 + A 1 7 A 1 30 + A 1 21 A 1 49 + A 1 19 A   49

A 2 50

=

3×9+7×30+21×49+19×49

50×49

=

2197

2450

…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．