Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为4（

2

+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为

c

a

=

2

2

，及椭圆的定义得到又2a+2c=4(

2

+1)，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），根据斜率公式求得k₁、k₂，把点P（x₀，y₀）在双曲线上，即可证明结果；
（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=

1

k

（x-2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为

c

a

=

2

2

，
得a=

2

c，又2a+2c=4(

2

+1)，
所以可解得a=2

2

，c=2，所以b²=a²-c²=4，
所以椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），
因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为

x2

4

-

y2

4

=1．
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），
则k₁=

y0

x0+2

，k₂=

y0

x0-2

，
∴k₁•k₂=

y0

x0+2

y0

x0-2

=

y02

x02-4

，
又点P（x₀，y₀）在双曲线上，
∴

x02

4

-

y02

4

=1，即y₀²=x₀²-4，
∴k₁•k₂=

y02

x02-4

=1．
（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
则由（II）知k₁•k₂=1，
∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=

1

k

（x-2），
由方程组

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由韦达定理得，x1+x2=

-8k2

1+2k2

，x1•x2=

8k2-8

2k2+1

，
∴AB=

1+k2

(x1+x2)2-4x1 x2

=

4 2 (1+k2)

2k2+1

，
同理可得CD=

1+( 1 k )2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+ 1 k2 )

2 1 k2 +1

=

4 2 (1+k2)

k2+2

，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

4 2 (1+k2)

2k2+1

-

4 2 (1+k2)

k2+2

=

3+3k2

4 2 (k2+1)

=

3 2

8

，
∴存在常数λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．