Question

如图，已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|

F1Q

|=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点M在线段F₂Q上，且满足

PM

•

MF1

=0，|

MF2

|≠0．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点，分类讨论，利用

PM

•

MF1

=0，|

MF2

|≠0，即可求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程，代入圆的方程，利用韦达定理及直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，可求直线方程，从而可求△OAB面积，进而可得△OAB面积的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．
当|

PM

|=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹C上．
当|

PM

|≠0且|

MF2

|≠0时，由

PM

•

MF2

=0，得

PM

⊥

MF2

．
又|

PQ

|=|

PF2

|，所以M为线段F₂Q的中点．在△QF₁F₂中，|

OM

|=

1

2

|

F1Q

|=a，所以有x²+y²=a²．
综上所述，点M的轨迹C的方程是x²+y²=a²．
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+y2=a2

消去y并整理，得（1+k²）x²+2kmx+m²-a²=0，
则△=4k²m²-4（1+k²）（m²-a²）=4（k²a²+a²-m²）＞0，且x₁+x₂=

-2km

1+k2

，x₁x₂=

m2-a2

1+k2

．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k²，即

-2k2m2

1+k2

+m²=0，
又m≠0，
∴k²=1，即k=±1．
设点O到直线l的距离为d，则d=

|m|

k2+1

，
∴S_△OAB=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|•

|m|

k2+1

=

1

2

|x₁-x₂||m|=

1

2

m2(2a2-m2)

．
由直线OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2a²且m²≠a²，
∴0＜

m2(2a2-m2)

＜

m2+(2a2-m2)

2

=a²．
故△OAB面积的取值范围为（0，

1

2

a²）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查求三角形的面积，考查类比思想，解题的关键是挖掘隐含条件，正确表示三角形的面积，属于中档题．