Question

（2012•江苏二模）如图，已知椭圆C：

x2

4

+y2=1，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．
（1）设P是椭圆C上任意一点，若

OP

=m

OA

+n

OB

，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P的坐标，通过

OP

=m

OA

+n

OB

，推出m，n与P的坐标的关系，推出定圆的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，得到x₁，x₂的关系．求出MN的距离以及O到直线MN的距离，然后证明△OMN的面积是否为定值．

解答：解：（1）易求A（2，1），B（-2，1）．…（2分）
设P（x₀，y₀），则

x02

4

+y02=1．由

OP

=m

OA

+n

OB

，得

x0=2(m-n) y0=m+n

，
所以

4(m-n)2

4

+(m+n)2=1，即．故点Q（m，n）在定圆x2+y2=

1

2

上．…（8分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

y1y2

x1x2

=-

1

4

．
平方得x12x22=16y12y22=(4-x12)(4-x22)，即x12+x22=4．…（10分）
因为直线MN的方程为（x₂-x₁）y-（y₂-y₁）x+x₁y₂-x₂y₁=0，
所以O到直线MN的距离为d=

|x1y2-x2y1|

(x2-x1)2+(y2-y1)2

，…（12分）
所以△OMN的面积S=

1

2

MN•l=

1

2

|x₁y₂-x₂y₁|=

1

2

x12y22 +x 2 2 y 2 1 -2x1x2y 1y2

=

1

2

x12(1- x22 4 )+x22(1- x12 4 )+ 1 2 x12x22

=

1

2

x12+x22

=1．
故△OMN的面积为定值1．…（16分）

点评：本题考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，考查转化思想计算能力．