Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，其右准线l与x轴的交点为T，过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线，垂足为D，四边形AF₁F₂D为平行四边形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设线段F₂D与椭圆交于点M，是否存在实数λ，使

TA

=λ

TM

？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由；
（3）若B是直线l上一动点，且△AF₂B外接圆面积的最小值是4π，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）由AD=F₁F₂得到a与c的关系

a2

c

=2c进而得到e=

2

2

．
（2）得到a，b，c的关系且设出各点的坐标可得

TA

=(-2c，c)，直线F₂D的方程是x-y-c=0联立直线与椭圆的方程得M(

4

3

c，

1

3

c)，进而得到

TA

=3

TM

．
（3）设圆心N的坐标为（n，n），圆过准线上一点B，则圆与准线有公共点所以

(n-c)2+n2

≥|n-2c|可得n≤-3c或n≥c又r2=(n-c)2+n2=2(n-

c

2

)2+

c2

2

∈[c2，+∞)
（πr²）_min=c²π=4π，则c²=4．

解答：解：（1）依题意：AD=F₁F₂，即

a2

c

=2c，
所以离心率e=

2

2

．
（2）由（Ⅰ）知：a=

2

c，b=c，
故A（0，c），D（2c，c），F₂（c，0），T（2c，0），

TA

=(-2c，c)
所以椭圆方程是

x2

2c2

+

y2

c2

=1，即x²+2y²=2c²，
直线F₂D的方程是x-y-c=0
由，{

x2+2y2=2c2 x-y-c=0

解得：，{

x=0 y=-c

（舍去）或，{

x= 4 3 c y= 1 3 c

即M(

4

3

c，

1

3

c)，

TM

=(-

2

3

c，

1

3

c)，所以

TA

=3

TM

，
即存在λ=3使

TA

=3

TM

成立．
（3）由题可知圆心N在直线y=x上，设圆心N的坐标为（n，n），
因圆过准线上一点B，则圆与准线有公共点，
设圆心N到准线的距离为d，则NF₂≥d，即

(n-c)2+n2

≥|n-2c|，
解得：n≤-3c或n≥c，
又r2=(n-c)2+n2=2(n-

c

2

)2+

c2

2

∈[c2，+∞)
由题可知，（πr²）_min=c²π=4π，则c²=4，
故椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．

点评：本题的重点是依向量为载体考查直线与圆锥曲线的相交问题，即联立直线椭圆的方程求解即可，还考查了焦点三角形面积的知识点，这些都是高考的重点内容．