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    已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C: y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.

    (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

    (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

    (1) 弦MN的长不随圆心k的运动而变化(2) 圆k必与准线相交


    解析:

    (1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,

    圆k的半径R=|AK|=

    ∴|MN|=2=2a(定值)

    ∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化. 

    (2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k:(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，

    令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0，∴y1y2=y02－a2

    ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.

    ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 

    又|MN|=|y1－y2|=2a， ∴|y1|+|y2|=|y1－y2|

    ∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0  ∴0≤x0≤.

    圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a.

    且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.

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    (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆K有怎样的位置关系?证明你的结论.

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