Question

2．已知函数f（x）=me^x-x-1．（其中e为自然对数的底数）
（1）若曲线y=f（x）过点P（0，1），求曲线y=f（x）在点P（0，1）处的切线方程．
（2）若f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．
（3）若f（x）两个零点为x₁，x₂且x₁＜x₂，求y=（e${\;}^{{x}_{2}}$-e${\;}^{{x}_{1}}$）（$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-m）的值域．

Answer 1

分析 （1）代入，求导，利用导数的概念求值即可；
（2）对不等式整理得m＞$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，构造函数，利用导函数求出右式的最大值即可．
（3）把零点代入，对函数整理为y=（e${\;}^{{x}_{2}}$-e${\;}^{{x}_{1}}$）（$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-m）=$\frac{{e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}-1}{{e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}+1}$-（x₂-x₁），利用换元法令x₂-x₁=t，得出函数g（t）=$\frac{{e}^{t}-1}{{e}^{t}+1}$-t（t＞0），利用导函数得出函数的单调性，根据单调性得出函数的值域．

解答 解：（1）当x=0时，f（0）=m-1=1，
∴m=2，
∵f'（x）=2e^x-1，f'（0）=1，
∴所求切线方程y=x+1，即x-y+1=0；
（2）由f（x）＞0得me^x-x-1＞0，即有m＞$\frac{x+1}{{e}^{x}}$
令μ（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，则μ'（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$，…（5分）
令μ'（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$＞0得x＜0，μ'（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$＜0得x＞0
∴μ（x）在（-∞0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
∴μ（x）的最大值为μ（0）=1，
∴m＞1；                       
（3）由题意，me^x₁-x₁-1=0，me^x₂-x₂-1=0．                 …（9分）
y=（e${\;}^{{x}_{2}}$-e${\;}^{{x}_{1}}$）（$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-m）=$\frac{{e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}-1}{{e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}+1}$-（x₂-x₁）
令x₂-x₁=t
g（t）=$\frac{{e}^{t}-1}{{e}^{t}+1}$-t（t＞0），
∵g'（t）=$\frac{-{e}^{2t}-1}{（{e}^{t}+1）^{2}}$＜0，
∴g（t）在（0，+∞）在上单调递减，
∴g（t）＜g（0）=0．
∴g（t）∈（-∞，0）
∴y=（e${\;}^{{x}_{2}}$-e${\;}^{{x}_{1}}$）（$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-m）的值域为（-∞，0）．

点评 本题考查了导函数的应用，函数的构造，换元法的应用和零点的概念．