Question

（1）判断函数f(x)=x2+

1

x

在（1，+∞）上的单调性，并用定义法加以证明；
（2）若函数f(x)=x2+

a

x

在区间（1，+∞）上的单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明．注意化简f（x₂）-f（x₁）是一定要化到最简．
（2）已知f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．

解答：解：（1）f（x）在（1，+∞）上的单调递增                            …（2分）
x₁，x₂是区间（1，+∞）上的任意两个值，且x₁＜x₂…（3分）
则x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞2，x₁x₂＞1，

1

x1x2

＜1∴

1

x1x2

-(x1+x2)＜0…（5分）
f(x1)-f(x2)=

x

2 1

+

1

x1

-(

x

2 2

+

1

x2

)
=(x1+x2)(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

=(x2-x1)[

1

x1x2

-(x1+x2)]＜0…（7分）
∴f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在（1，+∞）上的单调递增   …（8分）
（2）f/(x)=2x-

a

x2

≥0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤2x³在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤2．…（16分）

点评：本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．