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    对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：
    ①函数f（x）是D上的单调函数；
    ②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
    则称函数f（x）是闭函数．
    （1）判断函数f(x)=2x+
    4
    x
    ，x∈[1，10]；g（x）=-x3，x∈R是不是闭函数，并说明理由；
    （2）若函数f(x)=
    		x+2
    +k    ，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．
    分析：（1）要判断一个函数是否是闭函数，关键是判断函数f（x）是否满足条件①函数f（x）是D上的单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．只要有一个条件不满足，即可判定函数f（x）不是闭函数．
    （2）若函数f(x)=
    		x+2
    +k    ，x∈[-2，+∞）是闭函数，则其必满足①函数f（x）是D上的单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．由于函数在定义域为增函数，故关键是要找出合适的k值，使条件②满足，即：
    f（a）=a且f（b）=b，由此构造关于k的不等式组，解不等式组即可得到答案．
    解答：解：（1）f′(x)=2-
    4
    x2
    =
    2(x2-2)
    x2

    令f'（x）=0
    解得x=
    		2
    (x=-
    		2
    舍）
    ∵x∈[1，
    		2
    )    时f'（x）＜0；
    x∈(
    		2
    ，10]    时f'（x）＞0
    ∴f（x）在[1，
    		2
    )    上是减函数，在(
    		2
    ，10]    上是增函数
    ∴函数f（x）不是[1，10]上的单调函数
    ∴f(x)=2x+
    4
    x
    不是闭函数．
    ②∵g'（x）=-x2≤0∴g（x）=-x3在R上是减函数，
    设g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
    则
    b=-a3
    a=-b3
    a＜b
    ，解得
    a=-1
    b=1

    ∴存在区间[-1，1]⊆R，
    使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
    ∴函数g（x）=-x3是闭函数
    （2）函数f(x)=
    		x+2
    +k    在定义域上是增函数
    设函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
    则
    a=k+
    		a+2
    b=k+
    		b+2
    ，
    故a，b是方程x=k+
    		x+2
    的两个不相等的实根，
    命题等价于
    x2-(2k+1)x+k2-2=0
    x≥-2
    x≥k
    有两个不相等的实根，
    当k≤-2时，
    2k+1
    2
    ＞-2
    (2k+1)2-4(k2-2)＞0
    22-(2k+1)k+k2-2≥0
    ，
    解得k＞-
    9
    4
    ，∴k∈(-
    9
    4
    ，-2]    ．
    当k＞-2时，
    2k+1
    2
    ＞k
    (2k+1)2-4(k2-2)＞0
    k2-(2k+1)k+k2-2≥0
    ，无解．
    ∴k的取值范围是(-
    9
    4
    ，-2]
    点评：利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）仅是f（x）在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f（x）在（a，b）上递增（或递减）的充要条件应是f′（x）≥0[或f′（x）≤0]，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f（x）在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′（x0）=0，甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f（x）是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′（x）不恒为0，则由f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立解出的参数的取值范围确定．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+
    π
    2
    )    为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：
    ①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（-π，0）是它图象的一个对称中心；
    ④当x=
    π
    2
    时，它一定取最大值；其中描述正确的是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列五个命题：
    ①函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点；
    ②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数；
    ③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，总存在x0，当x＞x0 时，有2x＞x2成立；
    ④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点．
    ⑤已知x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，则x1+x2=5．
    其中正确的序号是
    ③⑤
    ③⑤
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•和平区一模）函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）无零点，设F（x）=f2（x）+f2（-x），则对于函数y=F（x）有如下四种说法：①定义域是[-b，b]；②最小值是0；③是偶函数；④在定义域内单调递增．其中正确的说法是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•上海模拟）对于函数y=f（x）的图象上任意两点A（a，f（a）），B（b，f（b）），设点C分
    AB
    的比为λ（λ＞0）．若函数为f（x）=x2（x＞0），则直线AB必在曲线AB的上方，且由图象特征可得不等式
    a2+λb2
    1+λ
    ＞(
    a+λb
    1+λ
    )    2    ．若函数为f（x）=log2010x，请分析该函数的图象特征，上述不等式可以得到不等式
    log2010a+log2010b
    1+λ
    ＜log2010
    a+λb
    1+λ
    log2010a+log2010b
    1+λ
    ＜log2010
    a+λb
    1+λ
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在区间[-3，3]上的函数y=f（x）满足f（-x）+f（x）=0，对于函数y=f（x）的图象上任意两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））都有（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]＜0．若实数a，b满足f（a2-2a）+f（2b-b2）≤0，则点（a，b）所在区域的面积为（　　）
    A、8B、4C、2D、1

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