Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+

π

2

)为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：
①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（-π，0）是它图象的一个对称中心；
④当x=

π

2

时，它一定取最大值；其中描述正确的是

 

．

Answer 1

分析：根据函数的奇偶性和对称性对每一个选支进行逐一判定即可．

解答：解：∵y=f(x+

π

2

)为偶函数
∴f（-x+

π

2

）=f（x+

π

2

），对称轴为

π

2

而y=f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（-x+

π

2

）=-f（x-

π

2

）=f（x+

π

2

）
即f（x+

π

2

）=-f（x-

π

2

），f（x+π）=-f（x），f（x+2π）=f（x）
∴y=f（x）是周期函数，故①正确
x=

π

2

+2kπ（k∈Z）是它的对称轴，故②不正确
（-π，0）是它图象的一个对称中心，故③正确
当x=

π

2

时，它取最大值或最小值，故④不正确
故答案为：①③

点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质、对称性、周期性等有关基础知识，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．