Question

已知函数f（x）=x+

a

x

的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+

2

2

．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=2+

a

2

=2+

2

2

求解a．
（2）先设点P的坐标为（x₀，y₀），则有y₀=x₀+

2

x0

，x₀＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．
（3）由（2）可将S_{四边形OMPN}转化为S_△OPM+S_△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S_{四边形OMPN}面积模型求最值．

解答：解：（1）∵f（2）=2+

a

2

=2+

2

2

，∴a=

2

．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），则有y₀=x₀+

2

x0

，x₀＞0，
由点到直线的距离公式可知，|PM|=

|x0-y0|

2

=

1

x0

，|PN|=x₀，
∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．
（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y₀）．
∵PM与直线y=x垂直，
∴k_PM•1=-1，即

y0-t

x0-t

=-1．解得t=

1

2

（x₀+y₀）．
又y₀=x₀+

2

x0

，∴t=x₀+

2

2x0

．
∴S_△OPM=

1

2x02

+

2

2

，S_△OPN=

1

2

x₀²+

2

2

．
∴S_{四边形OMPN}=S_△OPM+S_△OPN=

1

2

（x₀²+

1

x02

）+

2

≥1+

2

．
当且仅当x₀=1时，等号成立．
此时四边形OMPN的面积有最小值：1+

2

．

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．