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(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)
分析:(1)当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)2+(
2
x
-1)
2
=(x2+
4
x2
)-2(x+
2
x
)+2,利用换元法,转化为二次函数,利用单调性,可求f(x)的最小值;
(2)f(x)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,等价于f(x)min≥2m-1,函数可化为f(x)=(
x
a
-1)
2
+(
b
x
-1)
2
=(
x
a
+
b
x
)
2
-2(
x
a
+
b
x
)-
2b
a
+2,利用换元法,转化为二次函数,利用单调性,即可求实数m的取值范围;
(3)利用基本不等式可得
1
2
(a2+b2)≥(
a+b
2
)
2
,从而可得(
x
a
-1)
2
+(
b
x
-1)
2
1
2
(
x
a
+
b
x
-2)
2
>2(
b
a
-1)
2
,利用条件再利用基本不等式,即可证得结论.
解答:解:(1)当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)2+(
2
x
-1)
2
=(x2+
4
x2
)-2(x+
2
x
)+2
x+
2
x
=t(t≥2
2
),y=t2-2t-2=(t-1)2-3
∴函数在[2
2
,+∞)上单调增,∴y≥6-4
2

∴f(x)的最小值为6-4
2

(2)f(x)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,等价于f(x)min≥2m-1
f(x)=(
x
a
-1)
2
+(
b
x
-1)
2
=(
x
a
+
b
x
)
2
-2(
x
a
+
b
x
)-
2b
a
+2
x
a
+
b
x
=t(t≥2
b
a
),则y=t2-2t-
2b
a
+2
∴函数在[2
b
a
,+∞)上单调增,∴y≥2(
b
a
-2
b
a
+1)
>0
∴0≥2m-1
∴m≤0;
(3)因为
1
2
(a2+b2)≥(
a+b
2
)
2
,所以(
x
a
-1)
2
+(
b
x
-1)
2
1
2
(
x
a
+
b
x
-2)
2
>2(
b
a
-1)
2

当a=k2,b=(k+c)2时,
b
a
=(1+
c
k
)
2
;当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,
b
a
=(1+
c
k+c
)
2

所以f1(x)+f2(x)>2(
c
k
2+2(
c
k+c
2)>
4c2
k(k+c)
(因为0<a<b,所以等号取不到)
点评:本题考查基本不等式的运用,考查函数的单调性,多次应用了基本不等式,注意等号成立的条件.
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