分析:(1)当a=1,b=2时,
f(x)=(x-1)2+(-1)2=(x
2+
)-2(
x+)+2,利用换元法,转化为二次函数,利用单调性,可求f(x)的最小值;
(2)f(x)≥2
m-1对任意0<a<b恒成立,等价于f(x)
min≥2
m-1,函数可化为
f(x)=(-1)2+(-1)2=
(+)2-2(
+)-
+2,利用换元法,转化为二次函数,利用单调性,即可求实数m的取值范围;
(3)利用基本不等式可得
(a
2+b
2)≥
()2,从而可得
(-1)2+(-1)2>
(+-2)2>2
(-1)2,利用条件再利用基本不等式,即可证得结论.
解答:解:(1)当a=1,b=2时,
f(x)=(x-1)2+(-1)2=(x
2+
)-2(
x+)+2
令
x+=t(t≥2
),y=t
2-2t-2=(t-1)
2-3
∴函数在[2
,+∞)上单调增,∴y≥6-4
∴f(x)的最小值为6-4
;
(2)f(x)≥2
m-1对任意0<a<b恒成立,等价于f(x)
min≥2
m-1
f(x)=(-1)2+(-1)2=
(+)2-2(
+)-
+2
令
+=t(t≥
2),则y=t
2-2t-
+2
∴函数在[
2,+∞)上单调增,∴y≥
2(-2+1)>0
∴0≥2
m-1
∴m≤0;
(3)因为
(a
2+b
2)≥
()2,所以
(-1)2+(-1)2>
(+-2)2>2
(-1)2当a=k
2,b=(k+c)
2时,
=
(1+)2;当a=(k+c)
2,b=(k+2c)
2时,
=
(1+)2所以f
1(x)+f
2(x)>2(
)
2+2(
)
2)>
(因为0<a<b,所以等号取不到)
点评:本题考查基本不等式的运用,考查函数的单调性,多次应用了基本不等式,注意等号成立的条件.