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已知函数f(x)=x3-ax+b存在极值点.
(1)求a的取值范围;
(2)过曲线y=f(x)外的点P(1,0)作曲线y=f(x)的切线,所作切线恰有两条,切点分别为A、B.
(ⅰ)证明:a=b;
(ⅱ)请问△PAB的面积是否为定值?若是,求此定值;若不是求出面积的取值范围.
分析:(1)求函数的导数,利用函数存在极值即得f'(x)=0有解,注意进行验证.
(2)根据导数的几何意义求出切线方程,根据切线方程有两条,即可证明.求出切点,利用点到直线的距离公式求三角形的面积即可.
解答:解:(1)函数f(x)的导数为f'(x)=3x2-a,若函数存在极值点,
则f'(x)=3x2-a=0有解,即a=3x2
∴a≥0,
当a=0时,f'(x)=3x2-a=3x2≥0,此时函数f(x)单调递增,无极值,
∴a>0.
(2)(ⅰ)过点P(1,0)作曲线的切线,设切点(x0,f(x0)),
则切线方程为:y-f(x0)=(3
x
2
0
-a)(x-x0)

将P(1,0))代入得:-f(x0)=(3
x
2
0
-a)(1-x0)

2
x
3
0
-3
x
2
0
+a-b=0
,(*),
由条件知切线恰有两条,
∴方程(*)恰有两根.
令u(x)=2x3-3x2+a-b,
则u′(x)=6x2-6x=6x(x-1),
则函数u(x)有两个极值点x=0与x=1,
于是u(0)=0或u(1)=0
当u(0)=0时,a=b成立.
当u(1)=0时,a-b=1,此时f(x)=x3-ax+a-1=(x-1)(x2+x+1-a)经过P(1,0)与条件P在曲线外不符合,
∴a=b.
(ⅱ)当a=b时,2
x
3
0
-3
x
2
0
+a-b=0
,(*),
等价为
x
2
0
(2x0-3)=0
,解得x0=0或x0=
3
2

此时f(0)=b=a,即A(0,a),
f(
3
2
)=
27
8
-
a
2
,即B(
3
2
27
8
-
a
2
).
则AP的方程为
x
1
+
y
a
=1
,即ax+y-a=0,
则|AP|=
a2+1

点B到直线ax+y-a=0的距离d=
|
3
2
a+
27
8
-
a
2
-a|
a2+1
=
27
8
a2+1

∴△PAB的面积的面积为S=
1
2
|AP|•d
=
1
2
×
a2+1
27
8
a2+1
=
1
2
×
27
8
=
27
16
为定值.
点评:本题主要考查导数的几何意义,以及导数的基本运算,综合性强,运算量较大,难度较大.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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