Question

已知函数f（x）=2x+

5

x

的定义域为（0，+∞）．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=2x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）|PM|•|PN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）设点O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据条件，设出P的坐标，求出|PM|•|PN|，判断是否为定值即可．
（2）根据条件将四边形OMPN分解为两个三角形OPM和OPN，分别表示出两个三角形的面积，利用基本不等式的性质进行求最值．

解答：解：（1）设P的坐标为（x₀，y₀），则有y0=2x0+

5

x0

，
由点到直线的距离公式得|PM|=

|y0-2x0|

5

=

| 5 x0 |

5

=

5

x0

，|PN|=x₀，
∴|PM|：|PN|=

5

，
即|PM|•|PN|为定值

5

．
（2）由题意可设M（t，2t），知N（0，y₀）．
由PM与直线y=2x垂直，知K PM=-

1

2

，
即

y0-2t

x0-t

=-

1

2

，
又y0=2x0+

5

x0

，
解得t=x0+

2

x0

，
故|OM|=

5

(x0+

2

x0

)，
∴S△OPM=

1

2

•

5

x0

•

5

(x0+

2

x0

)=

5

2

(1+

2

x 2 0

)，S△OPN=

1

2

•x0•(2x0+

5

x0

)=

x

2 0

+

5

2

．
∴S_OMPN=S_△OPM+S_△OPN=

5

2

(1+

2

x 2 0

)+

x

2 0

+

5

2

=

x

2 0

+

5

x 2 0

+5≥2

5

+5，．
当且仅当x0=5

1

4

时等号成立，故四边形面积有最小值2

5

+5．

点评：本题主要考查曲线和方程，以及点到直线的距离公式的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量较大．