Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=2|x-2|-x+5，若函数f（x）的最小值为m
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可求得f（x）=

x+1，(x≥2) -3x+9，(x＜2)

，利用函数的单调性即可求得f（x）的最小值，从而可求得m；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m=3，于是|x-a|+|x+2|≥3恒成立，利用绝对值不等式的几何意义可求得|x-a|+|x+2|≥|a+2|，当且仅当（x-a）（x+2）≤0时等号成立，从而可求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2|x-2|-x+5=

x+1，(x≥2) -3x+9，(x＜2)

，
显然，函数f（x）在区间（-∞，2）上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）的最小值m=f（2）=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m=3，|x-a|+|x+2|≥3恒成立，
由于|x-a|+|x+2|≥|（x-a）-（x+2）|=|a+2|，
等号当且仅当（x-a）（x+2）≤0时成立，
故|a+2|≥3，
解之得a≥1或a≤-5．
所以实数a的取值范围为a≥1或a≤-5．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，掌握绝对值不等式的几何意义是解决问题的关键，属于中档题．