Question

选修4-5：不等式选讲：
设正有理数x是

2

的一个近似值，令y=1+

1

1+x

．
（Ⅰ）若x＞

2

，求证：y＜

2

；
（Ⅱ）比较y与x哪一个更接近于

2

？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用作差法，再因式分解，确定其符号，即可得到结论；
（Ⅱ）利用作差法，判断|y-

2

|-|x-

2

|＜0，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵y-

2

=1+

1

1+x

-

2

=

(x- 2 )(1- 2 )

1+x

∵x＞

2

，∴

(x- 2 )(1- 2 )

1+x

＜0
∴y＜

2

；
（Ⅱ）解：|y-

2

|-|x-

2

|=|x-

2

|×

2 -2-x

1+x

∵

2

-2＜0，x＞0
∴

2 -2-x

1+x

＜0
∵|x-

2

|＞0
∴|y-

2

|-|x-

2

|＜0
∴|y-

2

|＜|x-

2

|
∴y比x更接近于

2

．

点评：本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，确定差的符号是关键．