Question

已知函数f（x）=2-

1

x

，（x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则实数m的取值范围是（　　）

• A．（-∞，1）
• B．（0，1）
• C．（0，

  1

  4

  ）
• D．（-1，1）

Answer 1

分析：由题意可得 b＞a＞0，m＞0，故有 

f(a)=2- 1 a =ma f(b)=2- 1 b =mb

，故a，b是方程mx²-2x+1=0的两个不等正实根，再利用
二次函数的性质求得m的范围，综合可得结论．

解答：解：由于y=f（x）=2-

1

x

 （x＞0）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），
可得 b＞a＞0，且mb＞ma，由此解得m＞0．
故有 

f(a)=2- 1 a =ma f(b)=2- 1 b =mb

，
∴a，b是方程mx²-2x+1=0的两个不等正实根．
设g（x）mx²-2x+1，则有二次函数g（x）的对称轴为x=

2

m

，函数g（x）的图象和x轴的正半轴有2个交点．
故有

△=4-4m＞0 g(0) =0-0+1＞0 2 m ＞0

，由此解得0＜m＜1．
综上可得，0＜m＜1，
故选：B．

点评：本题主要考查函数的定义域和值域，函数与方程的综合应用，二次方程根与系数的关系等，考查了推理判断能力，属于基础题．