Question

已知函数f（x）=x+

a

x

的定义域为（0，+∞），a＞0且当x=1时取得最小值，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值；
（2）问：PM•PN是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由基本不等式得当且仅当x=

a

x

即x=

a

时，f（x）取得最小值，从而由

a

=1求解a．
（2）先设点P的坐标为p(t，t+

1

t

)(t＞0)，则有PM=

1 t

2

=

1

2 t

，PN=t．再求得PM•PN即可得出答案．
（3）由（2）可将S_{四边形OMPN}转化为S_△OPM+S_△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S_{四边形OMPN}面积模型求最值．

解答：解：（1）∵x＞0，a＞0
∴f(x)=x+

a

x

≥2

a

，当且仅当x=

a

x

即x=

a

时，f（x）取得最小值，
∴

a

=1∴a=1--------------------（5分）
（2）设p(t，t+

1

t

)(t＞0)，
则：PM=

1 t

2

=

1

2 t

，PN=t，
∴PM•PN=

2

2

（定值）--（10分）
(3)OM=

2t+ 1 t

2

∴SOMPN=S△OPM+S△OPN=

1

2

•

1

2 t

•

2t+ 1 t

2

+

1

2

t•(t+

1

t

)=1+

1

2

(

1

2t2

+t2)≥1+

1

2

×2

1 2

=1+

2

2

（当t=

4	1 2

时取等号）
∴四边形OMPN面积最小值为1+

2

2

．----------------------------------（16分）

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．属于中档题．