Question

（2010•上海模拟）对于函数y=f（x）的图象上任意两点A（a，f（a）），B（b，f（b）），设点C分

AB

的比为λ（λ＞0）．若函数为f（x）=x²（x＞0），则直线AB必在曲线AB的上方，且由图象特征可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．若函数为f（x）=log₂₀₁₀x，请分析该函数的图象特征，上述不等式可以得到不等式

log2010a+log2010b

1+λ

＜log2010

a+λb

1+λ

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）=x²（x＞0）的图象可知，此函数的图象是下凹的，由图象特征可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2，再根据对数函数的图象的特征，即可类比得到相应的不等式．

解答：解：∵函数f（x）=x²（x＞0）上任意两点A（a，a²）、B（b，b²），线段AB在弧AB的上方，
设点C分

AB

的比为λ（λ＞0），则由图象中可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2
据此我们从图象可以看出：函数f（x）=x²（x＞0）的图象是向下凹的，
类比对数函数可知，对数函数f（x）=log₂₀₁₀x的图象是上凸的，
∴类比上述不等式，可以得到的不等式

log2010a+log2010b

1+λ

＜log2010

a+λb

1+λ

．
故答案为：

log2010a+log2010b

1+λ

＜log2010

a+λb

1+λ

．

点评：本题的考点是类比推理，考查函数图象性质的类比，解题的关键是分析图象的凹凸性．