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(2010•上海模拟)设向量
s
=(x+1,y),
t
=(y,x-1)(x,y∈R)
,满足|
s
|+|
t
 |=2
2
,已知两定点A(1,0),B(-1,0),动点P(x,y),
(1)求动点P(x,y)的轨迹C的方程;
(2)已知直线m:y=x+t交轨迹C于两点M,N,(A,B在直线MN两侧),求四边形MANB的面积的最大值.
(3)过原点O作直线l与直线x=2交于D点,过点A作OD的垂线与以OD为直径的圆交于点G,H(不妨设点G在直线OD上方),求证:线段OG的长为定值.
分析:(1)由|
s
|+|
t
|=2
2
,知
(x+1)2+y2
+
(x-1)2+y2
=2
2
,由此能求出动点P(x,y)的轨迹C的方程.
(2)点A(1,0)和B(-1,0)为C的两个焦点,由y=x+t得x=t-y,代入
x2
2
+y2=1
可得:3y2-2ty+t2-2=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),由于S=
1
2
|AB|×|y1-y2| =|y1-y2|
,故只需求|y1-y2|的最大值
(3)设动点D(2,y0),则以OD为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-y0)=0,直线GA:2x+y0y-2=0,由此得G的轨迹方程是x2+y2=2,从而得到OG=
2
(定值).
解答:(1)解:∵向量
s
=(x+1,y),
t
=(y,x-1)(x,y∈R)
,满足|
s
|+|
t
 |=2
2

(x+1)2+y2
+
(x-1)2+y2
=2
2

∴动点P(x,y)的轨迹C的方程是以(±1,0)为焦点,以长轴长为2
2
,短轴长为2的椭圆,
∴动点P(x,y)的轨迹C的方程为
x2
2
+y2=1

(2)解:点A(1,0)和B(-1,0)为C的两个焦点,连接BM,BN,AM,AN
由y=x+t得x=t-y,代入
x2
2
+y2=1
可得:3y2-2ty+t2-2=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),∴y1+y2=
2t
3
y1y2=
t2-2
3

|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
4t2
9
-4×
t2-2
3
=
2
3
6-2t2

∵A,B在直线MN两侧
∴-1<t<1(经过点B时,t=1,经过点A时,t=-1)
∴当t=0时,|y1-y2|取得最大值
2
3
6

S=
1
2
|AB|×|y1-y2| =|y1-y2|

∴四边形MANB的面积的最大值为
2
3
6

(3)证明:设动点D(2,y0),
则以OD为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-y0)=0,①
直线GA:2x+y0y-2=0,②
由①②联立消去y0得G的轨迹方程是x2+y2=2,
∴OG=
2
(定值)
点评:本题以向量为载体,考查圆与圆锥曲线的综合应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地运用圆锥曲线的性质进行等价转化.
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lim
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-2
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