Question

已知定义在区间[-3，3]上的函数y=f（x）满足f（-x）+f（x）=0，对于函数y=f（x）的图象上任意两点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））都有（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＜0．若实数a，b满足f（a²-2a）+f（2b-b²）≤0，则点（a，b）所在区域的面积为（　　）

• A、8
• B、4
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：根据条件确定函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，然后利用线性规划的知识作出不等式组对应的平面区域，即可得到结论．

解答：解：∵函数y=f（x）满足f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数．
由（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
则函数f（x）在区间[-3，3]上是减函数．
则不等式f（a²-2a）+f（2b-b²）≤0等价为f（a²-2a）≤-f（2b-b²）=f（-2b+b²），
即

-3≤a2-2a≤3 -3≤b2-2b≤3 a2-2a≥b2-2b

，
∴

-1≤a≤3 -1≤b≤3 (a-b)(a+b-2)≥0

，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（3，3），B（3，-1），E（1，1），
则对应区域的面积为2×

1

2

×4×2=8，
故选：A．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式的转化，利用条件将不等式转化为二元一次不等式组是解决本题的关键，综合性较强．