Question

已知△ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足

3

tanA•tanB-tanA-tanB=

3

，
（Ⅰ）求∠C大小；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a²+b²取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式变形后，利用两角和与差的正切函数公式化简，再利用诱导公式求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出∠C的度数；
（Ⅱ）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，根据A与B都为锐角求出A的范围，由c与sinC的值，利用正弦定理表示出a与b，将表示出的a，b及B代入所求式子中，和差化积后整理为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵

3

tanA•tanB-tanA-tanB=

3

，
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

，即tan（A+B）=-tanC=-

3

，
∴tanC=

3

，
∵∠C为三角形的内角，
则∠C=

π

3

；
（II）∵∠A与∠B为锐角，且∠A+∠B=π-∠C=

2π

3

，即∠B=

2π

3

-∠A，
∴

π

6

＜∠A＜

π

2

，
∴

π

6

＜2∠A-

π

6

＜

5π

6

，
∵c=2，sinC=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

3 2

得：a=

4 3

3

sinA，b=

4 3

3

sinB，
∴a²+b²=

16

3

（sinA+sinB）=

16

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]=

16

3

+

8

3

sin（2A-

π

6

），
∵

π

6

＜2∠A-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（2A-

π

6

）≤1，即

20

3

＜

16

3

+

8

3

sin（2A-

π

6

）≤8，
则a²+b²的范围为（

20

3

，8]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，正弦函数的定义域与值域，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．