【题目】已知椭圆:
在左、右焦点分别为
,
,上顶点为点
,若
是面积为
的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知,
是椭圆
上的两点,且
,求使
的面积最大时直线
的方程(
为坐标原点).
【答案】解(1);(2)
或
.
【解析】
(1)由是面积为
的等边三角形,结合性质
,列出关于
、
的方程组,求出
、
,即可得结果;(2)先证明直线
的斜率存在,设直线
的方程为
,与椭圆方程联立消去
,利用弦长公式可得
,化简得
.原点
到直线
的距离为
,
的面积
,当
最大时,
的面积最大.由
,利用二次函数的性质可得结果.
(1)由是面积为
的等边三角形,得
,
所以,
,从而
,
所以椭圆的标准方程为
.
(2)由(1)知,当轴时,
,则
为椭圆
的短轴,故有
,
,
三点共线,不合题意.
所以直线的斜率存在,设直线
的方程为
,点
,点
,联立方程组
消去
,得
,
所以有,
,
则
,
即,化简得
.
因为,所以有
且
.
原点到直线
的距离为
,
的面积
,
所以当最大时,
的面积最大.
因为,而
,
所以当时,
取最大值为3,
面积的最大值
.
把代入
,得
,所以有
,
即直线的方程为
或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】上海市旅游节刚落下帷幕,在旅游节期间,甲、乙、丙三位市民顾客分别获得一些景区门票的折扣消费券,数量如表1,已知这些景区原价和折扣价如表2(单位:元).
表1:
数量 | 景区1 | 景区2 | 景区3 |
甲 | 0 | 2 | 2 |
乙 | 3 | 0 | 1 |
丙 | 4 | 1 | 0 |
表2:
门票 | 景区1 | 景区2 | 景区3 |
原价 | 60 | 90 | 120 |
折扣后价 | 40 | 60 | 80 |
(1)按照上述表格的行列次序分别写出这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵A和三个景区的门票折扣后价格矩阵B;
(2)利用你所学的矩阵知识,计算三位市民各获得多少元折扣?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(2017高考新课标Ⅲ,理19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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【题目】已知是椭圆
与抛物线
的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点
.
(1)求椭圆及抛物线
的方程;
(2)设过且互相垂直的两动直线
,
与椭圆
交于
两点,
与抛物线
交于
两点,求四边形
面积的最小值
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【题目】我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.该原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图,在空间直角坐标系中的平面内,若函数
的图象与
轴围成一个封闭的区域
,将区域
沿
轴的正方向平移8个单位长度,得到几何体如图一,现有一个与之等高的圆柱如图二,其底面积与区域
的面积相等,则此圆柱的体积为__________.
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【题目】随着互联网技术的快速发展,人们更加关注如何高效地获取有价值的信息,网络知识付费近两年呈现出爆发式的增长,为了了解网民对网络知识付费的态度,某网站随机抽查了岁及以上不足
岁的网民共
人,调查结果如下:
(1)请完成上面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过
的前提下,能否认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关?
(2)在上述样本中用分层抽样的方法,从支持和反对网络知识付费的两组网民中抽取名,若在上述
名网民中随机选
人,求至少1人支持网络知识付费的概率.
附:,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,下顶点为
,椭圆
的离心率是
,
的面积是
.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆
交于
,
两点(异于
点),若直线
与直线
的斜率之和为1,证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,
的距离之比为定值
的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系
中,
,
,点
满足
.设点
的轨迹为
,下列结论正确的是( )
A.的方程为
B.在上存在点
,使得
C.当,
,
三点不共线时,射线
是
的平分线
D.在三棱锥中,
面
,且
,
,
,该三棱锥体积最大值为12
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