Question

已知数列的前项和为，，是与的等差中项（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数，使不等式恒成立，若存在，求出

的最大值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1） （2）存在,11

【解析】

试题分析：

（1） 解法一：根据是与的等差中项，利用等差中项得到，（）①,

当时有 ②, 则 ①-②可得，从而可得数列通项.

解法二: 根据是与的等差中项，利用等差中项得到，（）①,根据该式的结构特征,利用构造法,可构造出等比数列,从而求得,进而利用得到数列的通项.

（2）根据（1）的结论可知,数列是等比数列,所以可以得到其前项和;代入化简,讨论的奇偶发现, 为奇数时,恒成立; 为偶数时,可将其转化为二次函数在固定区间恒成立问题,利用单调性可判断是否存在这样的正整数.

试题解析：（1）解法一：因为是与的等差中项，

所以（），即，（）①

当时有 ②

①-②得，即对都成立

又根据①有即，所以

所以. 所以数列是首项为1,公比为的等比数列.

解法二： 因为是与的等差中项，

所以（），即，（）

由此得（），

又，所以 （），

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

得，即（），

所以，当时，，

又时，也适合上式， 所以.

（2）根据（1）的结论可知,

数列是首项为1,公比为的等比数列,

所以其前项和为.

原问题等价于（）①恒成立.

当为奇数时，不等式左边恒为负数,右边恒为正数,所以对任意正整数不等式恒成立；

当为偶数时，①等价于恒成立，

令，有，则①等价于在恒成立，

因为为正整数，二次函数的对称轴显然在轴左侧,

所以当时,二次函数为增函数,故只须，解得，，

所以存在符合要求的正整数，且其最大值为11.

考点：等差中项;利用求通项;构造等比数列法;分类讨论;二次函数在固定区间恒成立.