Question

设n是自然数，f_n（x）=（x≠0，±1），令y=x+．
（1）求证：f_n+1（x）=yf_n（x）-f_n-1（x），（n＞1）
（2）用数学归纳法证明：
f_n（x）=．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据f_n（x）=，y=x+，代入yf_n（x）-f_n-1（x），化简即可得证；
（2）先证明命题对n=1，2成立，再设n≤m（m≥2，m为正整数，命题成立，现证命题对于n=m+1成立，分类讨论：①m为偶数，则m+1为奇数；②若m为奇数，则m+1为偶数，由归纳假设，即可证得结论．
解答：证明：（1）∵f_n（x）=，y=x+
∴yf_n（x）-f_n-1（x）=（x+）×-==f_n+1（x）
（2）f₁（x）=x+，f₂（x）=x²+1+x^-2=y²-1，故命题对n=1，2成立
设n=m（m≥2，m为正整数，命题成立，现证命题对于n=m+1成立
①m为偶数，则m+1为奇数，由归纳假设知，对于n=m及n=m-1，有
f_m（x）=y^m-+…+…+（-1）ⁱy^m-2i+…+①
f_m-1（x）=y^m-1-+…+（-1）^i-1y^m+1-2i+…+y ②
∴yf_m（x）-f_m-1（x）=y^m+1+…+（-1）ⁱy^m+1-2i+…+y
即命题对n=m+1成立．
②若m为奇数，则m+1为偶数，由归纳假设知，对于n=m及n=m-1，有
f_m（x）=y^m-1-+…+…+（-1）ⁱy^m-2i+…+y③
f_m-1（x）=y^m-1-+…+（-1）^i-1y^m+1-2i+…+④
用y乘③减去④，同上合并，并注意最后一项常数项为-=．
于是得到yf_m（x）-f_m-1（x）=y^m+1-C_m¹y^m-1+…+，即仍有对于n=m+1，命题成立
综上所述，知对于一切正整数n，命题成立．
点评：本题考查数学归纳法，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，难度较大．