Question

设n是自然数，f_n（x）=

xn+1-x-n-1

x-x-1

（x≠0，±1），令y=x+

1

x

．
（1）求证：f_n+1（x）=yf_n（x）-f_n-1（x），（n＞1）
（2）用数学归纳法证明：
f_n（x）=

yn- C 1 n-1 yn-2+…+(-1)i C i n-i yn-2i+…+(-1) n 2 ，(i=1，2，…， n 2 ，n我偶数) yn- C 1 n-1 yn-2+…+(-1)i C i n-i +…+(-1) n-1 2 C n-1 2 n+1 2 y，(i=1，2，…， n-1 2 ，n为奇数)

．

Answer 1

分析：（1）根据f_n（x）=

xn+1-x-n-1

x-x-1

，y=x+

1

x

，代入yf_n（x）-f_n-1（x），化简即可得证；
（2）先证明命题对n=1，2成立，再设n≤m（m≥2，m为正整数，命题成立，现证命题对于n=m+1成立，分类讨论：①m为偶数，则m+1为奇数；②若m为奇数，则m+1为偶数，由归纳假设，即可证得结论．

解答：证明：（1）∵f_n（x）=

xn+1-x-n-1

x-x-1

，y=x+

1

x

∴yf_n（x）-f_n-1（x）=（x+

1

x

）×

xn+1-x-n-1

x-x-1

-

xn-x-n

x-x-1

=

xn+2-x-n-2

x-x-1

=f_n+1（x）
（2）f₁（x）=x+

1

x

，f₂（x）=x²+1+x^-2=y²-1，故命题对n=1，2成立
设n=m（m≥2，m为正整数，命题成立，现证命题对于n=m+1成立
①m为偶数，则m+1为奇数，由归纳假设知，对于n=m及n=m-1，有
f_m（x）=y^m-

C

1 m-1

ym-2+…+…+（-1）ⁱ

C

i m-i

y^m-2i+…+(-1)

m

2

①
f_m-1（x）=y^m-1-

C

1 m-1

ym-3+…+（-1）^i-1

C

i-1 m-i

y^m+1-2i+…+(-1)

m-2

2

C

m-2 2 m 2

y ②
∴yf_m（x）-f_m-1（x）=y^m+1

-C

1 m+1-1

ym-1+…+（-1）ⁱ

C

i m-i+1

y^m+1-2i+…+(-1)

m

2

C	m 2 m 2 +1

y
即命题对n=m+1成立．
②若m为奇数，则m+1为偶数，由归纳假设知，对于n=m及n=m-1，有
f_m（x）=y^m-1-

C

1 m-2

ym-2+…+…+（-1）ⁱ

C

i m-i

y^m-2i+…+(-1)

m-1

2

C	m-1 2 m-1 2

y③
f_m-1（x）=y^m-1-

C

1 m-2

ym-3+…+（-1）^i-1

C

i-1 m-i

y^m+1-2i+…+(-1)

m-1

2

C	m-1 2 m-1 2

④
用y乘③减去④，同上合并，并注意最后一项常数项为-(-1)

m-1

2

C	m-1 2 m-1 2

=(-1)

m+1

2

．
于是得到yf_m（x）-f_m-1（x）=y^m+1-C_m¹y^m-1+…+(-1)

m+1

2

，即仍有对于n=m+1，命题成立
综上所述，知对于一切正整数n，命题成立．

点评：本题考查数学归纳法，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，难度较大．