Question

已知各项都不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且，a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）即可得到a_n+1-a_n-1=2．分n为奇数和偶数讨论即可得到a_n；
（2）利用（1）通过放缩，利用“裂项求和”即可证明．
解答：（1）解：∵，①
∴，②
①-②得
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2．
数列{a_n}的奇数项组成首项为a₁=1，公差为2的等差数列；偶数项组成首项为a₂，公差为2的等差数列．
∵a₁=1，∴，
∴a_2n-1=1+（n-1）×2=2n-1，a_2n=2+（n-1）×2=2n．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n．（n∈N*）；
（2）证明：当n≥3时，，则

当n=1时，；  当n=2时，；
∴．
点评：熟练掌握数列的通项与其前n项和公式之间的关系、分类讨论思想方法、放缩法、裂项求和法是解题的关键．