Question

中央电视台星光大道某期节目中，有5位实力均等的选手参加比赛，经过四轮比赛决出周冠军（每一轮比赛淘汰l位选手）．
（Ⅰ）甲、乙两位选手都进入第三轮比赛的概率；
（Ⅱ）设甲选手参加比赛的轮数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于甲、乙两位选手都进入第二轮比赛，知第一轮和第二轮淘汰的是三位选手中的两位，由此能求出甲、乙两位选手都进入第三轮比赛的概率．
（Ⅱ）甲选手参加比赛的轮数X的可能取值为1，2，3，4，分别求出P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（Ⅰ）由于甲、乙两位选手都进入第二轮比赛，
即第一轮和第二轮淘汰的是三位选手中的两位，
∴甲、乙两位选手都进入第三轮比赛的概率p=

C 1 3

C 1 5

•

C 1 2

C 2 4

=

3

10

．
（Ⅱ）甲选手参加比赛的轮数X的可能取值为1，2，3，4，
P（X=1）=

1

C 1 5

=

1

5

，
P（X=2）=

C 1 4

C 1 5

•

1

C 1 4

=

1

5

，
P（X=3）=

C 1 4

C 1 5

•

C 1 3

C 1 4

•

1

C 1 3

=

1

5

，
P（X=4）=

C 1 4

C 1 5

•

C 1 3

C 1 4

•

C 1 2

C 1 3

=

2

5

，
∴X的分布列

X	1	2	3	4
p	1 5	1 5	1 5	2 5

∴甲选手参加比赛的轮数x的数学期望为
EX=1×

1

5

+2×

1

5

+3×

1

5

+4×

2

5

=

14

5

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．