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    已知正方形ABCD的边长为1，．将正方形ABCD沿对角线折起，使，得到三棱锥A—BCD，如图所示．

    （I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；

    （II）求证：；

    （III）求二面角的余弦值．

     


         


    解：(I) 在正方形ABCD中，是对角线的交点，

    O为BD的中点，  M为AB的中点， OM∥AD.

    又AD平面ACD，OM平面ACD， OM∥平面ACD. 

    （II）证明：在中，，，

    ，.

    又 是正方形ABCD的对角线，，

    又.

    （III）由（II）知，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系.则，               

    是平面的一个法向量.，，                      

    设平面的法向量,则，.

    即， 

    所以且令则，，解得.  

    从而，二面角的余弦值为.


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