Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）•e^x，其中e为自然对数的底数，a，b，c为常数，若函数f（x）在x=-2处取得极值，且f′（0）=4，
（1）求实数b，c的值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导令f'（-2）=0、f′（0）=4求出b、c的值．
（2）令导函数f′（x）=ax²+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]时恒成立即可求出a的范围．

解答：解：（1）f′（x）=（2ax+b）e^x+（ax²+bx+c）e^x=[ax²+（b+2a）x+b+c]e^x
由f′（-2）=0?4a-2（b+2a）+b+c=0?b=c，
由

lim

x→0

f(x)-c

x

=4得到：f′(0)=4，所以b+c=4，
所以b=2，c=2；
（2）由题意知道ax²+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]时恒成立，
即a≥-

2x+4

x2+2x

在x∈[1，2]时恒成立，
设g(x)=-

2x+4

x2+2x

，x∈[1，2]，
则g(x)=-

2

x

在区间[1，2]上单调递增，所以g(x)的最大值为g(2)=-1，
所以a≥-1．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数的正负之间的关系．属基础题．