Question

已知函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₀的值为（　　）

• A、

  2011

  2012

• B、

  2010

  2011

• C、

  2009

  2010

• D、

  2008

  2009

Answer 1

分析：因为的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，所以利用导函数的几何含义可以求出b=-1，所以数列{

1

f(n)

}的通项公式可以具体，进而由数列的通项公式选择求和方法即可求解．

解答：解；∵函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
由f（x）=x²-bx求导得：f^′（x）=2x-b，
由导函数得几何含义得：f^′（1）=2-b=3?b=-1，∴f（x）=x²+x
所以f（n）=n（n+1），∴数列{

1

f(n)

}的通项为

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
所以

1

f(n)

的前n项的和即为T_n，
则利用裂项相消法可以得到：Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

+

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

  
所以数列的前2010项的和为：T₂₀₁₀=1-

1

2011

=

2010

2011

．
故答案选：B

点评：此题考查了导函数的几何含义及方程的思想，还考查了利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法．