Question

17．若向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow b$|=2，（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$．则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角等于$\frac{π}{4}$，$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影=1，|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据向量的数量积公式和向量的投影的定义以及向量的模计算即可．

解答 解：设向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，
∵向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow b$|=2，
∴（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=|$\overrightarrow a$|²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow a$|²-|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ=2-2$\sqrt{2}$cosθ=0，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
∴$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影为|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|²=|$\overrightarrow a$|²+2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ+|$\overrightarrow{b}$|²=2+2×$\sqrt{2}$×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+4=10，
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$，1，$\sqrt{10}$

点评 本题考查了向量的数量公式和向量的投影的定义，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题．