Question

7．已知$\overrightarrow{a}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{b}$=（1，-1，0），单位向量$\overrightarrow{n}$满足$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由单位向量的性质、向量与向量垂直的性质列出方程组，能求出$\overrightarrow{n}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{b}$=（1，-1，0），单位向量$\overrightarrow{n}$满足$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{b}$，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{x-y=0}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得x=y=z=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或x=y=z=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）或$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直和单位向量的性质的合理运用．