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如图,平面直角坐标系xOy中,△AOB和△COD为两等腰直角三角形,A(-2,0),C(a,0)(a>0).设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M,N.
(1)若⊙M与直线CD相切,求直线CD的方程;
(2)若直线AB截⊙N所得弦长为4,求⊙N的标准方程;
(3)是否存在这样的⊙N,使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为?若存在,求此时⊙N的标准方程;若不存在,说明理由.

【答案】分析:(1)根据△AOB为等腰直角三角形,A点坐标为(-2,0),可得圆心M的坐标为(-1,1)及圆M方程,利用⊙M与直线CD相切,圆心M到直线CD的距离等于半径,即可确定确定直线CD的方程;
(2)由已知得,直线AB的方程为x-y+2=0,圆心N的坐标为(),求出圆心N到直线AB的距离,利用直线AB截⊙N所得的弦长为4,即可确定圆心坐标,从而确定⊙N的标准方程;
(3)存在.由(2)知,圆心N到直线AB的距离恒为,且AB⊥CD始终成立,当且仅当圆N的半径=2
解答:解:(1)∵△AOB为等腰直角三角形,A点坐标为(-2,0),
∴圆心M的坐标为(-1,1).
∴圆M方程为(x+1)2+(y-1)2=2,
又△COD为等腰直角三角形,C点坐标为(a,0),
∴直线CD的方程为x+y-a=0
∵⊙M与直线CD相切,∴圆心M到直线CD的距离d==,解得a=2或a=-2(舍).(4分)
(2)由已知得,直线AB的方程为x-y+2=0,圆心N的坐标为().
∴圆心N到直线AB的距离为=
∵直线AB截⊙N所得的弦长为4,∴22+(2=
解得a=2或a=-2(舍),
∴⊙N的标准方程为(x-2+(y-2=6.(8分)
(3)存在.
由(2)知,圆心N到直线AB的距离恒为,且AB⊥CD始终成立,
∴当且仅当圆N的半径=2,即a=4时,⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为
此时⊙N的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8.(12分)
点评:本题考查直线与圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查存在性问题,解题时应充分运用圆的性质,选择正确的方法.
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精英家教网如图,平面直角坐标系xOy中,△AOB和△COD为两等腰直角三角形,A(-2,0),C(a,0),(a>0),设△AOB和△COD的
外接圆圆心分别为点M、N.
(Ⅰ)若⊙M与直线CD相切,求直线CD的方程;
(Ⅱ)若直线AB截⊙N所得弦长为4,求⊙N的标准方程.

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1
2
,2),B(-
1
2
,-
3
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2
2
2
2

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(2)若直线AB截⊙N所得弦长为4,求⊙N的标准方程;
(3)是否存在这样的⊙N,使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为
2
?若存在,求此时⊙N的标准方程;若不存在,说明理由.

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1,1
B1
1,0
B2
2,0
.且|OAn|=|OAn-1|+
2
|BnBn+1|=
1
2
|Bn-1Bn|
(n=2,3,4…).
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