Question

（2008•江苏二模）如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A（-2，0），C（a，0）（a＞0）．设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N．
（1）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
（2）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；
（3）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为

2

？若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△AOB为等腰直角三角形，A点坐标为（-2，0），可得圆心M的坐标为（-1，1）及圆M方程，利用⊙M与直线CD相切，圆心M到直线CD的距离等于半径，即可确定确定直线CD的方程；
（2）由已知得，直线AB的方程为x-y+2=0，圆心N的坐标为（

a

2

，

a

2

），求出圆心N到直线AB的距离，利用直线AB截⊙N所得的弦长为4，即可确定圆心坐标，从而确定⊙N的标准方程；
（3）存在．由（2）知，圆心N到直线AB的距离恒为

2

，且AB⊥CD始终成立，当且仅当圆N的半径

2 a

2

=2

2

．

解答：解：（1）∵△AOB为等腰直角三角形，A点坐标为（-2，0），
∴圆心M的坐标为（-1，1）．
∴圆M方程为（x+1）²+（y-1）²=2，
又△COD为等腰直角三角形，C点坐标为（a，0），
∴直线CD的方程为x+y-a=0
∵⊙M与直线CD相切，∴圆心M到直线CD的距离d=

|-a|

2

=

2

，解得a=2或a=-2（舍）．（4分）
（2）由已知得，直线AB的方程为x-y+2=0，圆心N的坐标为（

a

2

，

a

2

）．
∴圆心N到直线AB的距离为

2

2

=

2

．
∵直线AB截⊙N所得的弦长为4，∴2²+（

2

）²=

a2

2

．
解得a=2

3

或a=-2

3

（舍），
∴⊙N的标准方程为（x-

3

）²+（y-

3

）²=6．（8分）
（3）存在．
由（2）知，圆心N到直线AB的距离恒为

2

，且AB⊥CD始终成立，
∴当且仅当圆N的半径

2 a

2

=2

2

，即a=4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为

2

．
此时⊙N的标准方程为（x-2）²+（y-2）²=8．（12分）

点评：本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查存在性问题，解题时应充分运用圆的性质，选择正确的方法．