Question

（2011•浙江模拟）设F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的左、右焦点，A、B分别为其左顶点和上顶点，△BF₁F₂是面积为

3

的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM、AN分别与已知直线x=4交于点P和Q，试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△BF₁F₂是面积为

3

的正三角形，知

3

4

(2c) 2=

3

，c=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l方程为：x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

3x2+4y2=12 x=my+1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
再由韦达定理和点到直线的距离公式结合题设条件进行求解．

解答：解：（Ⅰ）∵△BF₁F₂是面积为

3

的正三角形，
∴

3

4

(2c) 2=

3

，c=1，
b=

3

2

×2c，b=

3

，
∴a²=4，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）根据题意可知，直线l斜率不为0，
设直线l方程为：x=my+1，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

3x2+4y2=12 x=my+1

，得
（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴

y1+y2= -6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

，
设点P（4，y_P），Q（4，y_Q），
∵A，M，P三点共线，由

AM

=(my1+3，y1)，

AP

=(6，yP)得，yP=

6y1

my1+3

同理，yQ=

6y2

my2+3

…..（10分）
线段PQ的中点D(4，

yP+yQ

2

)即（4，-3m），
则D到直线l的距离为d=3

m2+1

…．（12分）
以PQ为直径的圆的半径 r=

1

2

|yP-yQ|=|

3y1

my1+3

-

3y2

my2+3

|=|

9(y1-y2)

(my1+3)(my2+3)

||

9 (y1+y2)2-4y1y2

m2y1y2+3m(y1+y2)+9

|=|

9 ( -6m 3m2+4 )2+ 36 3m2+4

-9m2 3m2+4 + -18m2 3m2+4 +9

|=3

m2+1

…..（14分）

因为d=r，所以，以PQ为直径的圆与直线l相切．…．（15分）

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．