Question

（2012•威海二模）某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是

3

4

，

2

3

，

1

4

且各轮次通过与否相互独立．
（I）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）对于（I）中的ξ，设“函数f（x）=3sin

x+ξ

2

π（x∈R）是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．

Answer 1

分析：（I）确定ξ可能取值为1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；
（Ⅱ）分别确定当ξ=1、2、3时，函数f（x）的奇偶性，即可求得事件D发生的概率．

解答：解：（I）ξ可能取值为1，2，3．-------------------------------（2分）
记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，则
P（ξ=1）=P（

.

A

）=1-

3

4

=

1

4

；P（ξ=2）=P（A

.

B

）=P（A）P（

.

B

）=

3

4

×(1-

2

3

)=

1

4

；
P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）=

3

4

×

2

3

=

1

2

--------------------（5分）
ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	1 4	1 4	1 2

ξ的数学期望Eξ=1×

1

4

+2×

1

4

+3×

1

2

=

9

4

------------------------（7分）
（Ⅱ）当ξ=1时，f（x）=3sin（

π

2

x+

π

2

）=3cos

π

2

x，∴f（x）为偶函数；
当ξ=2时，f（x）=3sin（

π

2

x+π）=-3sin

π

2

x，∴f（x）为奇函数；
当ξ=3时，f（x）=3sin（

π

2

x+

3π

2

），∴f（x）为偶函数；
∴事件D发生的概率是

2

3

．-----------------------------------（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，正确求概率是关键．