Question

横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是

3

3

d

．

Answer 1

分析：据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）建立起强度函数，求出函数的定义域，再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的值．

解答：解：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y．由题意知，当xy²取最大值时，横梁的强度最大．
∵y²=d²-x²，
∴xy²=x（d²-x²）（0＜x＜d）．
令f（x）=x（d²-x²）（0＜x＜d），
得f′（x）=d²-3x²，令f′（x）=0，
解得x=

d

3

或x=-

d

3

（舍去）．
当0＜x＜

d

3

时，f′（x）＞0；当

d

3

＜x＜d时，f′（x）＜0，
因此，当x=

d

3

时，f（x）取得极大值，也是最大值．
故答案为：

3

3

d．

点评：考查据实际意义建立相关的函数，再根据函数的特征选择求导的方法来求最值．